В справке к программе Вы можете прочесть как синхронизировать БД на Ваших обоих ПК. Жмите F1 и смотрите на скриншоте как добраться до нужного раздела.
Это официальный способ! Синхронизируется все (входящие, отправленные, адресная книга)!

Можно попробовать выставить в настройках ящиков на обоих ПК неудаление в течение n-календарных дней за которые Вы гарантированно выкачаете повторно те же самые письма до их удаления. Можно и POP'ом и IMAP'ом. Но если POP, то только входящие будут синхронны, а не отправленные. Адресная книга The Bat! будет асинхронна в любом случае.

Можно использовать тот же аккаунт Dropbox или примонтированный ЯндексДиск по WebDav доступ к которому есть с обоих ПК. Например я раньше таранил (правда флешкой а не через Dropbox) с одного на другой все письма найденные(F7) по условию Любая часть содержит * полученных после такой-то даты. Если база не распухшая, а каналы толстые, то может держать Вояджер там? Рискованно.. Скорее невероятно.

Можно создать общую виртуальную папку в которой будут представлены все письма из всех ящиков, выделить все(Ctrl+A) и сохранить(Ctrl+S) одним MBX/MBOX. Тоже бэкап, но только писем. И старых существующих в обоих местах и новых. Затем можно импортировать этот unix-ящик (это и есть mbox/mbx) скажем в папку входящие, сделать на время фильтры сортировки ручными и рассортировать эти письма в соответствующие им папки с последующим удалением дублей из Папка-Управление папками-Чекбокс удаление дубликатов. В этом случае благоприобретённые адреса из адресной книги не будут скопированы/синхронизированы. Это надо будет сделать отдельно. Много телодвижений.
И во всех вышеперечисленных случаях (после официально предлагаемой синхронизации) Вы кроме адресной книги также не синхронизируете фильтры, шаблоны, девизы, анекдоты из SmartBat'а (я их там храню, другие не знаю что хранят, может заметки).

Используйте всё-таки официальный способ и не забывайте про бэкап.
Здесь Вы, Вадим на других скриншотах из моего другого поста можете видеть как настроить "мой" альтернативноимённый бэкап по планировщику, который я использую наряду с официальным.

Хотелось бы знать поточнее условия Вашего "техзадания" и условия использования The Bat!. Может, например, Что Вам Вадим нужно просто иметь доступ к содержимому скачанных на работе писем? Тогда можно поставить Архивариус 3000 на работе, индексировать каждый день скажем по кронтабу, настроить в Архивариусе доступ извне и смотреть индексы папки MAIL Вашего рабочего Бата дома. Но экспортировать интересующее письмо Вы сможете только в текст без сохранения служебных заголовков.
Можно попробовать получать почту Батом через HandySafe доступный с обоих компьютеров (share/cloud/proxy?).
Придётся мне, наверное, скачать Вашу версию TB и попробовать на какой-нибудь другой машине.

Спасибо, сейчас попробую.

Извините, это тот EXEшник или MSIшник (скорее именно MSI, так как RITlabs давно уже выкладывает программу установки в этом формате) который Вы и запускали и инсталлировали устанавливали на свой компьютер. Обычно его берут на официальном сайте продукта.
На странице архивный версий Вашей версии я не нашёл - http://www.ritlabs.com/ru/products/thebat/archive_versions/

Вот как понимает Википедия (http://ru.wikipedia.org) термин дистрибутив:
Так вот этот установочный файл с расширением MSI котрый Вы скачивали перед установкой я и прошу прислать мне.
Напоминаю на всякий случай, что версия Home Edition не предназначена для коммерческого использования.
Если заплатить за переход с Home на Pro 500 р. (это в России) и с 4 на 5 700р., то получится 1200 р.
А за 1300 можно купить целую лицензию Pro v.5.

Яндекс Диск можно монтировать как сетевой диск (единственный, кажется, среди конкурентов):
http://help.yandex.ru/disk/webdav/webdav-win.xml
Если почтовая база заметно меньше вместимости Вашего Яндекс Диска, то можно с некоторым риском держать её там.
А можно держать и папку самой программы также вместе с папкой MAIL.
Для запуска Бата нужно будет создать батник пакетный файл, который будет монтировать ЯндексДиск как расшаренную папку (напр. Z) с Вашими учётными данными Яндекса и затем запускать The Bat! Одну и ту же учётку Яндекс Диска никто не мешает использовать на работе и дома. Монтирование по протоколу WevDav предполагает использование службы Веб-клиент, которая по умолчанию разрешена.
Скажите, вплоть до какой версии будет валиден годен Ваш ключ от Бата? Может есть смысл обновиться до этой максимально возможной для ключа версии.
Чтобы потом иметь возможность откатиться на старые позиции выйдите из Бата и заZIPуйте папку программы и папкой MAIL внутри неё (у Вас так?) бесплатным архиватором 7-zip без сжатия.
Вышеописанный метод хранения базы данных трафикоёмкий и рискованный.
Обрывы соединений, проблемы с электричеством могут, наверное, угробить данные.
Можно ещё нафантазировать виндовый дедик Virtual Dedicated Server c ОС Windows (хотя Бат у меня работал и на Линуксе через wine вместе с мирандой) и The Bat! или работать через RDP. В последнем случае придётся либо использовать нецелево рабочий комп в пострабочее время, либо держать свой домашний комп в онлайне и работать на нём локально дома и удалённо с работы. Что из моих инсинуаций Вам больше нравится?

У меня получилось, чтоб на двух компьютерах при заходе в ВАТ были одни и те же письма! Как я сделал: 1) в ВАТе на ноутбуке заходим в Свойства почтового ящика, далее - Транспорт, в графе Пользователь перед почтовым адресом пишем: recent:, в браузере бигмира в настройках заходим в Пересылка и РОР/ІМАР и ставим галочку - Включить РОР для писем, полученніх с этого момента. В домашнем компьютере ничего не меняем. Все.  

Используйте протокол IMAP.