Я не знаю никакого почтового сервиса имеющего даже пол-функционала The Bat!. Что тут можно придумать.. Скажем создать в планировщике задание раз в пять минут посылать на свой другой условленный сигнальный ящик письмо. На другой стороне нужен какой-нибудь арендованный или свой сервер всегда в онлайне имеющий на борту The Bat! c двумя ящиками (Ваш рабочий с которого должный уходить автоответы когда Вы оффлайн и тот куда Вы (точнее планировщик) посылали сигнальные письма сигнализирующие что Вы в онлайн. Там тоже нужен планировщик по условию которого если более 5-10 минут не поступало писем на сигнальный ящик, то забирать письма с Вашего рабочего ящика и отвечать шаблоном. Как-то так.
Чтобы вся эта умозрительная конструкция (которую надо допиливать) работала без дублированных автоответов, надо, чтобы Вы забирая почту со своего почтового ящика либо удаляли письма либо архивировали (чтобы не было их во входящих на Вашем ящике Gmail).