Коллеги, спасибо за советы, разобрался!
С отчаянья попробовал сжатие. Помогло!

Я его сразу после установки отключил везде, т.к. полагал это действительно СЖАТИЕ, типа архивации rar или zip. А один попробованый раз это не показатель, как выяснилось.

Итак, как оно было. Описание связки машин было описано несколькими постами выше, так что расскажу о самом процессе.

Выключил (закрыл) Бат на всех трёх компах, кроме того, на котором находится расшареный виртуальный сетевой диск.
Запустил сжатие для самых "одиозных папок" (1500 и 1000 писем). Отработало за 3-4 минуты на каждой.
Полез посмотреть, что прозошло с файлами TBB. Действительно, входящий уменьшился до нормального - с 2 Гб до 280 кб.
Поставил в свойствах папок (в Бате) "Сжимать при выходе".
Вышел из программы, понаблюдал процесс сжатия (менее минуты).
Запустил Бат, принял почту, ещё раз взглянул на TBB - норма!
Проверил другие компы. Ессно, галки в настройках папок там уже стояли. Закрыл Бат на одном из таких компов, автоматом началось сжатие - отменил.

На всех компах, кроме главного повесил таблички: При закрытии почтовой программы ОТМЕНИТЕ процесс сжатия.
И ещё одну, так, на всякий...: Кто пришел первым - включи комп Марьи Ивановны. Кто уходит последним - выключи его.

Такой вот балаган

А вообще, странная процедура. По идее, такой функции, как ЭТО Сжатие, вообще не должно быть в пользовательских настройках. Ведь это не является Сжатием в общепринятом значении.
Файл TBB, содержащий письма, по здравому смыслу, должен уменьшаться не по воле пользователя, а в зависимости от количества содержащихся в нём писем. Что-то разработчики намудрили  

Впрочем, работает и ладно!