Письма скачивались как раз полностью. Не в этом вопрос. Просто после соединения с сервером происходила синхронизация данных. Поскольку сервер был пустой после краха данных, то и ящик 100% опустошался. Плохо, что в самом TheBat не предусмотрена такая ситуация и методы борьбы с этой проблемой.

В общем нашел решение следующее, может кому пригодится:
1. Отключаем интернет;
2. Восстанавливаем наш ящик mymail.com (IMAP) из резервной копии;
3. Создаем временный ящик test.com с абсолютно левыми данными, а в нем создаем папки той же структуры, что и IMAP для mymail.com
4. Экспортируем все данные из конкретной папки mymail.com, например, mymail.com/входящие в формате *.eml или *.msg. Для этого заходим в папку "входящие", отмечаем все письма, далее  идем Инструменты/Экспортировать письма. Сохраняем все письма во временную папку c:/Temp.
5. Становимся на папку test.com/Входящие. Теперь сюда импортируем письма: Инструменты/Импортировать письма из временной папки на диске c:/Temp.
Результат: у нас теперь есть копии писем из папки mymail.com/входящие на локальном компьютере.
6. Аналогично проделываем экспорт/импорт для всех прочих папок, чтобы создать копию писем ящика mymail.com в ящике test.com.
7. Подключаем Интернет. Обновляем ящик mymail.com. Данные в нем уходят. Не переживаем.
8. Заходим в ящик test.com  в  папку "входящие" и отмечаем там все письма. Далее копируем их в mymail.com/входящие. Для этого отметив все письма test.com/входящие нажимаем  Ctrl+C и указываем папку для копирования -в ящик  mymail.com/входящие.
9. Ждем пока письма перекопируются. Если ящик большой, как у меня, то это займет время. Спокойно пьем кофе.  Аналогичным образом копируем все другие папки.
Таким образом мы восстанавливаем ящик mymail.com и там все будет так же, как и до падения хостинга. Откупориваем шампанское, танцуем с бубном, а временные ящики test.com и директорию c:/Temp можно удалить.

Вполне допускаю, что есть менее громоздкий способ, но я о нем не знаю. Похоже поддержка так же не в курсе, судя по тому в такой сложной ситуации от них рекомендаций не последовало.  

Конечно, так сто пудов логично и правильно. Но по факту так не копируется, по крайней мере у меня   - The Bat! Professional Edition Version 6.7.2 (32-bit). Иначе зачем бы я изобретал велосипед?

Причем я пытался копировать данные с восстановленного из автобекапа ящика с включенным интернетом и без.
- с включенным - TheBat сначала обращался на сервер (а не в кеш), далее синхронизировался с пустым сервером. Соответственно  через пару минут копировать было уже нечего.
- с выключенным интернетом данные тупо не копировались, хотя у меня в настройках стояло загружать все (о чем 7 Гбт размер базы красноречиво свидетельствует).

Вы сами попытайтесь на своей копии для интереса смоделировать ситуацию и проверить. Если это глюк, присущий только моей копии, то ладно можно забыть.  А если нет, то передайте привет разработчикам, чтобы поправили и у прочих пользователей не было таких проблем. Удачи.